Die Ergebnismenge \(\Omega\) (Omega) fasst alle möglichen Elementarereignisse \(\omega\) eines Zufallsvorgangs zusammen:
\[ \Omega = \{\omega : \omega \text{ ist Elementarereignis}\} \tag{1.1} \]
Wichtige Begriffe:
| Begriff | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Ereignis | \(A \subset \Omega\) | Teilmenge der Ergebnismenge |
| Komplementärereignis | \(\bar{A}\) oder \(A^c\) | Tritt ein, wenn \(A\) nicht eintritt |
| Sicheres Ereignis | \(\Omega\) | Tritt immer ein |
| Unmögliches Ereignis | \(\emptyset\) | Tritt nie ein |
| Schnittmenge | \(A \cap B\) | Sowohl \(A\) als auch \(B\) tritt ein |
| Vereinigungsmenge | \(A \cup B\) | Mindestens eines der Ereignisse tritt ein |
| Disjunkte Ereignisse | \(A \cap B = \emptyset\) | \(A\) und \(B\) schließen sich aus |
Venn-Diagramme für: \(\bar{A}, A \cap B, A \cup B ~\text{und} A \setminus B\)
Die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) eines Ereignisses \(A\) erfüllt folgende Axiome:
A1: Nicht-Negativität \[P(A) \geq 0\]
A2: Normierung \[P(\Omega) = 1\]
A3: Additivität bei disjunkten Ereignissen \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{falls } A \cap B = \emptyset\]
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \tag{1.2} \]
Die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) nicht eintritt, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) eintritt.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \tag{1.3} \]
Bei nicht-disjunkten Ereignissen muss \(P(A \cap B)\) abgezogen werden, da sonst die Schnittmenge doppelt gezählt wird!
\[ P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) \tag{1.4} \]
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist der einfachste Ansatz zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und gilt für Zufallsexperimente mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen.
Für Laplace-Experimente (endliche Ergebnismenge, alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich):
\[ P(A) = \frac{\text{Anzahl der für } A \text{ günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} = \frac{|A|}{|\Omega|} \tag{1.5} \]
Voraussetzungen (V1 und V2):
# Beispiel: Würfeln - P(Augenzahl > 4)
guenstig <- c(5, 6) # günstige Ergebnisse
omega <- 1:6 # alle möglichen Ergebnisse
P_A <- length(guenstig) / length(omega)
cat("Ereignis A = {Augenzahl > 4} = {5, 6}\n")Ereignis A = {Augenzahl > 4} = {5, 6}cat("P(A) =", length(guenstig), "/", length(omega), "=", round(P_A, 4), "\n")P(A) = 2 / 6 = 0.3333 Der frequentistische Ansatz verzichtet auf die Einschränkung der Gleichwahrscheinlichkeit und ist damit allgemeiner anwendbar.
Bei der frequentistischen Wahrscheinlichkeit gehen wir davon aus, dass bei beliebig oft wiederholbarem Zufallsexperiment die relative Häufigkeit \(f_n(A)\) mit wachsendem \(n\) gegen die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) konvergiert.
\[f_n(A) \xrightarrow{n \to \infty} P(A)\]
z.B. Münzwurf: \(f_n(\text{Zahl}) \to 0{,}5\) für grosses \(n\).
Bei der Ziehung von \(n\) Elementen aus einer Grundgesamtheit mit \(N\) Elementen unterscheidet man:
| Mit Reihenfolge | Ohne Reihenfolge | |
|---|---|---|
| Ohne Zurücklegen | \(\dfrac{N!}{(N-n)!}\) | \(\dbinom{N}{n}\) |
| Mit Zurücklegen | \(N^n\) | \(\dbinom{N+n-1}{n}\) |
\[ \frac{N!}{(N-n)!} = N \cdot (N-1) \cdot \ldots \cdot (N-n+1) \tag{1.7} \]
Anwendung: Medaillenvergabe, Ranglisten
\[ N^n \tag{1.8} \]
Anwendung: PIN-Codes, Würfeln mit mehreren Würfeln
\[ \binom{N}{n} = \frac{N!}{(N-n)! \cdot n!} \tag{1.9} \]
Anwendung: Lotto, Kartenspiele (herauslegen)
\[ \binom{N+n-1}{n} = \frac{(N+n-1)!}{(N-1)! \cdot n!} \tag{1.10} \]
Anwendung: Stimmenhäufung bei Wahlen
\[k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot k\] Spezialfall: \(0! = 1\)
# Fakultät
factorial(n) # n!
# Binomialkoeffizient "N über n"
choose(N, n)# 1. Medaillenvergabe: 8 Läufer, 3 Medaillen (geordnet, ohne Zurücklegen)
N <- 8; n <- 3
variationen <- factorial(N) / factorial(N - n)
cat("1. Medaillenvergabe (8 Läufer, 3 Plätze):", variationen, "Möglichkeiten\n")1. Medaillenvergabe (8 Läufer, 3 Plätze): 336 Möglichkeiten# 2. Würfeln mit 2 Würfeln (geordnet, mit Zurücklegen)
N <- 6; n <- 2
permutationen_zurueck <- N^n
cat("2. Würfeln mit 2 Würfeln:", permutationen_zurueck, "Möglichkeiten\n")2. Würfeln mit 2 Würfeln: 36 Möglichkeiten# 3. Lotto 6 aus 49 (ungeordnet, ohne Zurücklegen)
lotto <- choose(49, 6)
cat("3. Lotto 6 aus 49:", format(lotto, big.mark = "'"), "Möglichkeiten\n")3. Lotto 6 aus 49: 13'983'816 Möglichkeitencat(" P(6 Richtige) =", format(1/lotto, scientific = TRUE), "\n") P(6 Richtige) = 7.151124e-08 # 4. Vorstandswahl mit Stimmenhäufung (ungeordnet, mit Zurücklegen)
N <- 3; n <- 2 # 3 Kandidaten, 2 Stimmen
kombi_zurueck <- choose(N + n - 1, n)
cat("4. Vorstandswahl (3 Kandidaten, 2 Stimmen):", kombi_zurueck, "Möglichkeiten\n")4. Vorstandswahl (3 Kandidaten, 2 Stimmen): 6 MöglichkeitenDer bayesianische Ansatz interpretiert Wahrscheinlichkeit als Ausdruck eines Wissenstands, der durch neue Beobachtungen aktualisiert wird. Das formale Werkzeug dafür ist die bedingte Wahrscheinlichkeit.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\) (gegeben \(B\) ist eingetreten):
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{für } P(B) > 0 \tag{1.12} \]
Analog gilt:
\[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{für } P(A) > 0 \tag{1.13} \]
Aus den obigen Definitionen folgt der Multiplikationssatz:
\[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A) \tag{1.14} \]
“Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit mal die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.”
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \tag{1.15} \]
Der Satz ermöglicht es, die “Richtung” der Bedingung umzukehren:
Typische Anwendung: Aus der Sensitivität eines Tests (\(P(\text{positiv}|\text{krank})\)) die Wahrscheinlichkeit berechnen, tatsächlich krank zu sein bei positivem Test (\(P(\text{krank}|\text{positiv})\)).
Schlüsselbegriffe:
Die Randwahrscheinlichkeit ist oftmals nicht direkt bekannt, sondern lässt sich nur berechnen durch den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.
\[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A})\]
Liefert die Randwahrscheinlichkeit \(P(B)\) als gewichtete Summe über alle disjunkten Ursachen – z. B.:
\[P(\text{positiv}) = P(\text{pos}|\text{krank}) \cdot P(\text{krank}) + P(\text{pos}|\text{gesund}) \cdot P(\text{gesund})\] In Worten: Alle positiven Tests sind die Summe der richtig-positiven und der falsch-positiven Ergebnisse
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \tag{1.16} \]
Äquivalent: \(P(A|B) = P(A)\) und \(P(B|A) = P(B)\)
Bei Unabhängigkeit beeinflusst das Eintreten eines Ereignisses nicht die Wahrscheinlichkeit des anderen.
Beispiele: Aufeinanderfolgende Münzwürfe, Roulettespiele
Situation: 60 drogenabhängige Personen, stationär oder ambulant behandelt. 15 Personen HIV-positiv, 45 negativ. Von den HIV-positiven sind 80% in stationärer Behandlung, von den HIV-negativen nur 40%.
# Gegeben:
P_B <- 15/60 # P(HIV-positiv)
P_B_bar <- 45/60 # P(HIV-negativ)
P_A_given_B <- 0.8 # P(stationär | HIV-positiv)
P_A_given_B_bar <- 0.4 # P(stationär | HIV-negativ)
# Berechnung mit Multiplikationssatz
P_A_and_B <- P_A_given_B * P_B
P_A_and_B_bar <- P_A_given_B_bar * P_B_bar
P_A <- P_A_and_B + P_A_and_B_bar
cat("P(B) = P(HIV-positiv) =", P_B, "\n")P(B) = P(HIV-positiv) = 0.25 cat("P(A|B) = P(stationär | HIV-positiv) =", P_A_given_B, "\n")P(A|B) = P(stationär | HIV-positiv) = 0.8 cat("P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) =", P_A_and_B, "\n")P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) = 0.2 cat("P(A) = P(stationär) =", P_A, "\n")P(A) = P(stationär) = 0.5 # Prüfung auf Unabhängigkeit
cat("\nPrüfung auf Unabhängigkeit:\n")
Prüfung auf Unabhängigkeit:cat("P(A) · P(B) =", P_A * P_B, "\n")P(A) · P(B) = 0.125 cat("P(A ∩ B) =", P_A_and_B, "\n")P(A ∩ B) = 0.2 cat("→ Da P(A)·P(B) ≠ P(A∩B), sind A und B ABHÄNGIG.\n")→ Da P(A)·P(B) ≠ P(A∩B), sind A und B ABHÄNGIG.Baumdiagramme sind ein visuelles Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Sie machen die Anwendung des Multiplikationssatzes und die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten anschaulich.
1. Pfadregel (Multiplikationsregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\] \[P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}|A)\] \[P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})\] \[P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}|\bar{A})\]
2. Pfadregel (Additionsregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
\[P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\] \[P(\bar{B}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap \bar{B})\] (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
Die Vierfeldertafel ist eine alternative Darstellung zum Baumdiagramm.
| \(B\) | \(\bar{B}\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(P(A \cap B)\) | \(P(A \cap \bar{B})\) | \(P(A)\) |
| \(\bar{A}\) | \(P(\bar{A} \cap B)\) | \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\) | \(P(\bar{A})\) |
| Summe | \(P(B)\) | \(P(\bar{B})\) | \(1\) |
Beispiel: \(A\) = tatsächlich krank, \(\bar{A}\) = tatsächlich gesund, \(B\) = Test positiv, \(\bar{B}\) = Test negativ.
*Kontingenztabelle mit nur zwei kategorialen Variablen mit je zwei Ausprägungen.
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus absoluten Häufigkeiten:
| Test positiv (\(B\)) | Test negativ (\(\bar{B}\)) | Summe | |
|---|---|---|---|
| Tatsächlich krank (\(A\)) | \(rp\) (richtig-positiv) | \(fn\) (falsch-negativ) | \(rp + fn\) |
| Tatsächlich gesund (\(\bar{A}\)) | \(fp\) (falsch-positiv) | \(rn\) (richtig-negativ) | \(fp + rn\) |
| Summe | \(rp + fp\) | \(fn + rn\) | \(N\) |
\[ \text{Sensitivität} = P(B|A) = \frac{rp}{rp + fn} \]
Wahrscheinlichkeit, dass Kranke als krank erkannt werden.
\[ \text{Spezifität} = P(\bar{B}|\bar{A}) = \frac{rn}{fp + rn} \]
Wahrscheinlichkeit, dass Gesunde als gesund erkannt werden.
\[ \text{Fehlalarmrate} = \frac{fp}{fp + rn} = 1 - \text{Spezifität} \]
Wahrscheinlichkeit, dass Gesunde fälschlich als krank eingestuft werden.
Hohe Sensitivität und Spezifität garantieren nicht die Zuverlässigkeit eines Tests!
Bei niedriger Prävalenz (Anteil der Kranken in der Population) kann selbst ein Test mit 99% Sensitivität und 99% Spezifität eine hohe Fehlalarmquote haben.
Situation: Massenscreening mit 100’000 Personen. Prävalenz = 1%, Sensitivität = 99%, Spezifität = 99%.
Analytische Berechnung:
Aus den gegebenen Werten berechnen wir die Zellhäufigkeiten:
Aus Sensitivität und Spezifität folgt:
Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test tatsächlich krank zu sein (Bayes):
\[P(\text{krank} | \text{Test+}) = \frac{rp}{rp + fp} = \frac{990}{990 + 990} = \frac{990}{1'980} = 0{,}50\]
Interpretation: Trotz 99% Sensitivität und 99% Spezifität sind nur 50% der positiv Getesteten tatsächlich krank – jeder zweite positive Befund ist ein Fehlalarm!
Eine Zufallsvariable \(X\) ist eine Abbildung, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsvorgangs eine reelle Zahl zuordnet. Je nachdem, welche Werte \(X\) annehmen kann, unterscheiden wir:
\(\bar{x}\) und \(s^2\) sind Schätzer für \(\mu\) und \(\sigma^2\). Je grösser die Stichprobe, desto genauer die Annäherung — Gesetz der grossen Zahlen.
Zwei Grafiken sind beim Arbeiten mit Zufallsvariablen besonders zentral: das Histogramm zur Visualisierung der Dichtestruktur und die empirische Verteilungsfunktion (ECDF) als Pendant zur theoretischen Verteilungsfunktion \(F(x)\). Beide lassen sich direkt mit der theoretischen Kurve überlagern — so wird die Qualität der Modellanpassung sofort sichtbar.
set.seed(42)
n <- 500
mu <- 5
sig <- 2
x <- rnorm(n, mean = mu, sd = sig)
df <- tibble(x = x)
# ── Histogramm mit überlagerter Dichtekurve ──────────────────────────────
p_hist <- ggplot(df, aes(x)) +
geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 30,
fill = "steelblue", alpha = 0.7, color = "white") +
stat_function(fun = dnorm,
args = list(mean = mu, sd = sig),
color = "firebrick", linewidth = 1.1) +
labs(title = paste0("Histogramm (n = ", n, ")"),
subtitle = "Rote Kurve: theoretische Dichte N(5, 4)",
x = "x", y = "Dichte") +
theme_minimal()
# ── Empirische Verteilungsfunktion + theoretische VF ─────────────────────
p_ecdf <- ggplot(df, aes(x)) +
stat_ecdf(color = "steelblue", linewidth = 0.9,
pad = FALSE) +
stat_function(fun = pnorm,
args = list(mean = mu, sd = sig),
color = "firebrick",
linetype = "dashed",
linewidth = 1.1) +
labs(title = paste0("Empirische Verteilungsfunktion (n = ", n, ")"),
subtitle = "Rote gestrichelte Kurve: theoretische VF N(5, 4)",
x = "x", y = expression(F[n](x))) +
theme_minimal()
# ── Nebeneinander ausgeben ────────────────────────────────────────────────
library(patchwork)
p_hist + p_ecdf
Die empirische Verteilungsfunktion \(F_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}(x_i \leq x)\) konvergiert nach dem Satz von Glivenko-Cantelli gleichmässig gegen die theoretische \(F(x)\) — der maximale Abstand \(\sup_x |F_n(x) - F(x)|\) geht mit wachsendem \(n\) gegen 0.
Ein wesentliches Ziel der Statistik ist es, theoretische Modelle zu finden, die empirische Daten gut beschreiben. Tabelle 1 zeigt die strukturellen Analogien zwischen beiden Welten.
| Beschreibende Statistik | Wahrscheinlichkeitsrechnung |
|---|---|
| Menge aller Merkmalsträger | Menge möglicher Ausprägungen einer ZV |
| Relative Häufigkeiten \(h_j\) | Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) |
| Empirische Verteilungsfunktion \(F_n(x)\) | Theoretische Verteilungsfunktion \(F(x)\) |
| Mittelwert \(\bar{x}\) | Erwartungswert \(\mu = E[X]\) |
| Empirische Varianz \(s^2\) | Theoretische Varianz \(\sigma^2 = \text{Var}(X)\) |
| Empirische Quantile | Theoretische Quantile |
Das folgende Beispiel illustriert den Übergang: Wir simulieren 1 000 Würfe eines fairen Würfels und vergleichen die empirische Häufigkeitsverteilung mit der theoretischen Gleichverteilung.
set.seed(42)
n <- 1000
wuerfe <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
emp_df <- as.data.frame(table(wuerfe)) |>
mutate(wuerfe = as.integer(as.character(wuerfe)),
rel_haeufigkeit = Freq / n,
typ = "Empirisch")
theo_df <- data.frame(
wuerfe = 1:6,
rel_haeufigkeit = 1/6,
typ = "Theoretisch (1/6)"
)
ggplot(emp_df, aes(x = factor(wuerfe), y = rel_haeufigkeit)) +
geom_col(fill = "steelblue", alpha = 0.7, width = 0.6) +
geom_hline(yintercept = 1/6, color = "firebrick", linewidth = 1.2,
linetype = "dashed") +
annotate("text", x = 6.3, y = 1/6 + 0.005,
label = "Theoretisch (1/6)", color = "firebrick", size = 3.5) +
labs(title = paste0("Empirische Häufigkeiten nach ", n, " Würfen"),
subtitle = "Rote Linie: theoretische Gleichverteilung",
x = "Augenzahl", y = "Relative Häufigkeit") +
theme_minimal()
Mit wachsendem \(n\) gleicht sich die empirische Verteilung der theoretischen immer stärker an. Dieses Phänomen ist das Gesetz der großen Zahlen in Aktion.
Für jede Verteilung stellt R vier Standardfunktionen bereit, die einem einheitlichen Namensschema folgen:
| Funktion | Bedeutung | Beispiel (Binomial) |
|---|---|---|
d___() |
Wahrscheinlichkeitsfunktion / Dichte: \(P(X = x)\) | dbinom(x, n, p) |
p___() |
Verteilungsfunktion: \(P(X \leq x)\) | pbinom(x, n, p) |
q___() |
Quantilsfunktion: kleinster Wert \(x\) mit \(F(x) \geq p\) | qbinom(p, n, p) |
r___() |
Zufallszahlen aus der Verteilung | rbinom(n, size, p) |
tibble(x = 0:15) |>
mutate(
`B(15, 0.3)` = dbinom(x, 15, 0.3),
`B(15, 0.5)` = dbinom(x, 15, 0.5),
`B(15, 0.7)` = dbinom(x, 15, 0.7)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Verteilung", values_to = "P") |>
ggplot(aes(x = factor(x), y = P, fill = Verteilung)) +
geom_col(position = "dodge", alpha = 0.85) +
scale_fill_manual(values = c("steelblue", "skyblue", "grey60")) +
labs(title = "Binomialverteilung B(15, p) für verschiedene p",
x = "x", y = "P(X = x)") +
theme_minimal()
Eine Fertigungslinie produziert Bauteile, von denen erfahrungsgemäß 8 % fehlerhaft sind. Eine Stichprobe von 20 Bauteilen wird entnommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 fehlerhafte Teile gefunden werden? Und dass höchstens 2 defekt sind?
n <- 20; p <- 0.08
# P(X = 2)
p_genau2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
cat("P(X = 2) =", round(p_genau2, 4), "\n")P(X = 2) = 0.2711 # P(X <= 2)
p_hoechstens2 <- pbinom(2, size = n, prob = p)
cat("P(X <= 2) =", round(p_hoechstens2, 4), "\n")P(X <= 2) = 0.7879 # Erwartungswert und Standardabweichung
cat("E[X] =", n * p, "\n")E[X] = 1.6 cat("SD(X) =", round(sqrt(n * p * (1 - p)), 3), "\n")SD(X) = 1.213 Eine Münze wird 30-mal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 18-mal „Kopf” zu erhalten? Visualisieren Sie die Verteilung und markieren Sie den kritischen Bereich.
n <- 30; p <- 0.5
p_mindestens18 <- 1 - pbinom(17, size = n, prob = p)
cat("P(X >= 18) =", round(p_mindestens18, 4), "\n")P(X >= 18) = 0.1808 tibble(x = 0:30,
prob = dbinom(x, n, p),
bereich = ifelse(x >= 18, "≥ 18 (Kopf dominiert)", "< 18")) |>
ggplot(aes(x = factor(x), y = prob, fill = bereich)) +
geom_col(alpha = 0.85) +
scale_fill_manual(values = c("steelblue", "firebrick")) +
labs(title = "B(30, 0.5) — Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Köpfe",
x = "Anzahl Köpfe", y = "P(X = x)", fill = "") +
theme_minimal() +
theme(axis.text.x = element_text(size = 7))
k <- 6
tibble(x = 1:k, prob = 1/k) |>
ggplot(aes(x = factor(x), y = prob)) +
geom_col(fill = "steelblue", width = 0.6, alpha = 0.85) +
geom_hline(yintercept = 1/k, linetype = "dashed", color = "grey40") +
labs(title = "Diskrete Gleichverteilung (k = 6, Würfel)",
x = "Augenzahl", y = "P(X = x)") +
scale_y_continuous(limits = c(0, 0.25)) +
theme_minimal()
Beim Lotto werden Zahlen von 1 bis 45 gezogen. Modellieren Sie eine einzelne Ziehung als diskrete Gleichverteilung. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl ≤ 10 zu ziehen?
k <- 45
p_kleiner_10 <- 10 / k
cat("P(X <= 10) =", round(p_kleiner_10, 4), "\n")P(X <= 10) = 0.2222 cat("E[X] =", (k + 1) / 2, "\n")E[X] = 23 cat("Var(X) =", round((k^2 - 1) / 12, 2), "\n")Var(X) = 168.67 Simulieren Sie 10 000 Würfelwürfe. Zeigen Sie, wie die empirische Häufigkeit der Augenzahl 6 gegen den theoretischen Wert 1/6 konvergiert.
set.seed(123)
n <- 10000
wuerfe <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
kum_haeufigkeit <- cumsum(wuerfe == 6) / seq_along(wuerfe)
tibble(wurf = 1:n, rel_haeuf = kum_haeufigkeit) |>
filter(wurf %% 10 == 0) |>
ggplot(aes(x = wurf, y = rel_haeuf)) +
geom_line(color = "steelblue") +
geom_hline(yintercept = 1/6, color = "firebrick", linetype = "dashed") +
annotate("text", x = 8500, y = 1/6 + 0.01, label = "1/6 ≈ 0.167",
color = "firebrick", size = 3.5) +
labs(title = "Konvergenz der rel. Häufigkeit (Augenzahl 6) gegen 1/6",
x = "Anzahl Würfe", y = "Kumulative relative Häufigkeit") +
theme_minimal()
Ein charakteristisches Merkmal der Poisson-Verteilung: Erwartungswert und Varianz sind gleich (\(E[X] = \text{Var}(X) = \lambda\)). Weicht in realen Daten die empirische Varianz stark von \(\bar{x}\) ab, deutet dies auf Über- oder Unterdispersion hin — die Poisson-Annahme wäre dann verletzt.
tibble(x = 0:15) |>
mutate(
`λ = 1` = dpois(x, 1),
`λ = 3` = dpois(x, 3),
`λ = 7` = dpois(x, 7)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Parameter", values_to = "P") |>
ggplot(aes(x = x, y = P, color = Parameter, shape = Parameter)) +
geom_line(linewidth = 0.8) +
geom_point(size = 2) +
scale_color_manual(values = c("steelblue", "skyblue", "grey40")) +
labs(title = "Poisson-Verteilung für verschiedene λ",
x = "x", y = "P(X = x)") +
theme_minimal()
In einem Call-Center gehen durchschnittlich 4 Anrufe pro Minute ein. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute genau 6 Anrufe eingehen? Und mehr als 7?
lambda <- 4
cat("P(X = 6) =", round(dpois(6, lambda), 4), "\n")P(X = 6) = 0.1042 cat("P(X > 7) =", round(1 - ppois(7, lambda), 4), "\n")P(X > 7) = 0.0511 cat("E[X] =", lambda, "\n")E[X] = 4 cat("SD(X) =", round(sqrt(lambda), 4), "\n")SD(X) = 2 Ein radioaktives Präparat emittiert im Mittel 2.5 Partikel pro Sekunde. Visualisieren Sie die Verteilung und berechnen Sie ein zentrales 95%-Schwankungsintervall.
lambda <- 2.5
unt <- qpois(0.025, lambda)
ob <- qpois(0.975, lambda)
cat("Zentrales 95%-Schwankungsintervall: [", unt, ",", ob, "]\n")Zentrales 95%-Schwankungsintervall: [ 0 , 6 ]tibble(x = 0:10,
prob = dpois(x, lambda),
insi = ifelse(x >= unt & x <= ob, "Intervall", "außerhalb")) |>
ggplot(aes(x = factor(x), y = prob, fill = insi)) +
geom_col(alpha = 0.85) +
scale_fill_manual(values = c("lightblue", "steelblue")) +
labs(title = paste0("Pois(2.5) — 95%-Schwankungsintervall [", unt, ", ", ob, "]"),
x = "x", y = "P(X = x)", fill = "") +
theme_minimal()
Der Korrekturfaktor \(\dfrac{N-n}{N-1}\) entfällt näherungsweise, wenn \(n \ll N\) — dann nähert sich die hypergeometrische der Binomialverteilung an.
# Lotto 6 aus 45: N=45, M=6 Gewinnzahlen, n=6 gezogen
tibble(x = 0:6,
prob = dhyper(x, m = 6, n = 39, k = 6)) |>
ggplot(aes(x = factor(x), y = prob)) +
geom_col(fill = "steelblue", width = 0.6, alpha = 0.85) +
labs(title = "Hypergeom. Verteilung: Lotto 6 aus 45",
subtitle = "Anzahl Richtige beim Ziehen von 6 aus 45 (6 Gewinnnummern)",
x = "Anzahl Richtige", y = "P(X = x)") +
theme_minimal()
Beim Schweizer Lotto werden 6 Zahlen aus 45 gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 6 Richtige, wenn man 6 Zahlen tippt.
N <- 45; M <- 6; n <- 6
for (x in 0:6) {
p <- dhyper(x, m = M, n = N - M, k = n)
cat("P(X =", x, ") =", formatC(p, digits = 8, format = "f"), "\n")
}P(X = 0 ) = 0.40056464
P(X = 1 ) = 0.42412726
P(X = 2 ) = 0.15147402
P(X = 3 ) = 0.02244060
P(X = 4 ) = 0.00136463
P(X = 5 ) = 0.00002873
P(X = 6 ) = 0.00000012 Eine Lieferung enthält 100 Teile, davon sind 10 defekt. Es werden 15 Teile zufällig geprüft. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 defekte Teile zu finden?
N <- 100; M <- 10; n <- 15
p_mind3 <- 1 - phyper(2, m = M, n = N - M, k = n)
cat("P(X >= 3) =", round(p_mind3, 4), "\n")P(X >= 3) = 0.1705 cat("E[X] =", round(n * M / N, 3), "\n")E[X] = 1.5 R zählt die Misserfolge vor dem ersten Erfolg: \(X \in \{0, 1, 2, \ldots\}\) mit \(f(x) = (1-p)^x \cdot p\). Viele Lehrbücher definieren stattdessen \(Y = X + 1\) = Anzahl Versuche bis zum ersten Erfolg: \(f_Y(y) = p(1-p)^{y-1}\), \(y \in \{1, 2, \ldots\}\). Beim Ablesen von Tabellen und Formeln immer prüfen, welche Konvention gilt.
\[P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)\] Die bisherige Wartezeit spielt keine Rolle — nach \(m\) Misserfolgen ist die Restwartezeit identisch verteilt wie zu Beginn. Intuition: Eine Münze „erinnert” sich nicht an frühere Würfe. Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete gedächtnislose Verteilung.
tibble(x = 0:15) |>
mutate(
`p = 0.2` = dgeom(x, 0.2),
`p = 0.4` = dgeom(x, 0.4),
`p = 0.7` = dgeom(x, 0.7)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Parameter", values_to = "P") |>
ggplot(aes(x = x, y = P, color = Parameter)) +
geom_line(linewidth = 0.8) +
geom_point(size = 1.8) +
scale_color_manual(values = c("steelblue", "skyblue", "grey40")) +
labs(title = "Geometrische Verteilung für verschiedene p",
x = "Anzahl Misserfolge vor 1. Erfolg", y = "P(X = x)") +
theme_minimal()
Ein Qualitätsprüfer findet jedes geprüfte Teil mit Wahrscheinlichkeit 0.15 defekt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er erst beim 5. Prüfling einen Defekt findet?
p <- 0.15
# "Erst beim 5. Prüfling" = 4 Nicht-Defekte vor dem ersten Defekt
p_x4 <- dgeom(4, prob = p)
cat("P(X = 4) =", round(p_x4, 4), "\n")P(X = 4) = 0.0783 cat("E[X] (mittlere Wartezeit in Misserfolgen) =",
round((1 - p) / p, 2), "\n")E[X] (mittlere Wartezeit in Misserfolgen) = 5.67 Eine Münze wird geworfen bis das erste Mal „Kopf” erscheint (\(p = 0.5\)). Simulieren Sie 5 000 Experimente und vergleichen Sie die empirische Verteilung mit der theoretischen.
set.seed(7)
p <- 0.5
sim <- rgeom(5000, prob = p)
tibble(x = 0:12) |>
mutate(
empirisch = map_dbl(x, ~ mean(sim == .x)),
theoretisch = dgeom(x, prob = p)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Typ", values_to = "P") |>
ggplot(aes(x = factor(x), y = P, fill = Typ)) +
geom_col(position = "dodge", alpha = 0.85) +
scale_fill_manual(values = c("steelblue", "grey60")) +
labs(title = "Geom(0.5): Empirisch vs. Theoretisch (n = 5 000)",
x = "Anzahl Misserfolge vor 1. Kopf", y = "Relative Häufigkeit / P(X=x)") +
theme_minimal()
Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Punkt null. Man berechnet stets Wahrscheinlichkeiten für Intervalle mithilfe der Dichtefunktion \(f(x)\):
\[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]
Die 68-95-99.7-Regel:
# 68-95-99.7 Regel
for (k in 1:3) {
p <- pnorm(k) - pnorm(-k)
cat("P(|Z| <=", k, ") =", round(p * 100, 2), "%\n")
}P(|Z| <= 1 ) = 68.27 %
P(|Z| <= 2 ) = 95.45 %
P(|Z| <= 3 ) = 99.73 %tibble(x = seq(130, 210, length.out = 400)) |>
mutate(
`N(170, 100)` = dnorm(x, 170, 10),
`N(180, 25)` = dnorm(x, 180, 5),
`N(160, 225)` = dnorm(x, 160, 15)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Verteilung", values_to = "f") |>
ggplot(aes(x = x, y = f, color = Verteilung)) +
geom_line(linewidth = 1) +
scale_color_manual(values = c("steelblue", "skyblue", "grey50")) +
labs(title = "Normalverteilungen mit verschiedenen Parametern",
x = "x", y = "f(x)") +
theme_minimal()
Die Körpergrösse erwachsener Männer in der Schweiz sei \(N(178, 64)\)-verteilt (\(\sigma = 8\) cm). Wie gross ist der Anteil der Männer, die grösser als 190 cm sind? Welche Grösse überschreiten die grössten 5 %?
mu <- 178; sigma <- 8
p_grösser190 <- 1 - pnorm(190, mu, sigma)
cat("P(X > 190) =", round(p_grösser190, 4), "\n")P(X > 190) = 0.0668 p95_grenze <- qnorm(0.95, mu, sigma)
cat("95%-Perzentil =", round(p95_grenze, 1), "cm\n")95%-Perzentil = 191.2 cmEine Messgrösse \(X \sim N(50, 16)\) wird standardisiert. Berechnen Sie \(P(46 \leq X \leq 54)\) sowohl direkt als auch über die Standardnormalverteilung.
mu <- 50; sigma <- 4
# Direkt
p_direkt <- pnorm(54, mu, sigma) - pnorm(46, mu, sigma)
# Über Standardisierung
z1 <- (46 - mu) / sigma
z2 <- (54 - mu) / sigma
p_standard <- pnorm(z2) - pnorm(z1)
cat("Direkt: P(46 <= X <= 54) =", round(p_direkt, 4), "\n")Direkt: P(46 <= X <= 54) = 0.6827 cat("Standardisiert: P(", round(z1,2), "<= Z <=", round(z2,2), ") =",
round(p_standard, 4), "\n")Standardisiert: P( -1 <= Z <= 1 ) = 0.6827 # Visualisierung
tibble(x = seq(38, 62, length.out = 300)) |>
mutate(y = dnorm(x, mu, sigma),
fill_area = ifelse(x >= 46 & x <= 54, y, NA)) |>
ggplot(aes(x = x)) +
geom_line(aes(y = y), color = "steelblue", linewidth = 1) +
geom_area(aes(y = fill_area), fill = "steelblue", alpha = 0.4) +
annotate("text", x = 50, y = 0.03, label = paste0(round(p_direkt*100,1), "%"),
size = 4) +
labs(title = "N(50, 16): P(46 ≤ X ≤ 54)",
x = "x", y = "f(x)") +
theme_minimal()
Die \(\chi^2\)-Verteilung wird vor allem in Hypothesentests eingesetzt: beim Chi²-Anpassungstest, beim Chi²-Unabhängigkeitstest sowie bei Tests für die Varianz einer Normalverteilung. Die Teststatistik folgt dann näherungsweise einer \(\chi^2\)-Verteilung.
tibble(x = seq(0, 30, length.out = 400)) |>
mutate(
`ν = 2` = dchisq(x, 2),
`ν = 5` = dchisq(x, 5),
`ν = 10` = dchisq(x, 10)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Freiheitsgrade", values_to = "f") |>
ggplot(aes(x = x, y = f, color = Freiheitsgrade)) +
geom_line(linewidth = 1) +
scale_color_manual(values = c("steelblue", "skyblue", "grey40")) +
coord_cartesian(ylim = c(0, 0.25)) +
labs(title = "Chi²-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade",
x = "x", y = "f(x)") +
theme_minimal()
Bei einem Chi²-Unabhängigkeitstest mit 4 Freiheitsgraden und Signifikanzniveau \(\alpha = 0.05\): Wie lautet der kritische Wert? Visualisieren Sie die Ablehnungsregion.
nu <- 4; alpha <- 0.05
krit <- qchisq(1 - alpha, df = nu)
cat("Kritischer Wert χ²(0.95; 4) =", round(krit, 3), "\n")Kritischer Wert χ²(0.95; 4) = 9.488 tibble(x = seq(0, 20, length.out = 400)) |>
mutate(y = dchisq(x, df = nu),
region = ifelse(x >= krit, y, NA)) |>
ggplot(aes(x = x)) +
geom_line(aes(y = y), color = "steelblue", linewidth = 1) +
geom_area(aes(y = region), fill = "firebrick", alpha = 0.4) +
geom_vline(xintercept = krit, linetype = "dashed", color = "firebrick") +
annotate("text", x = krit + 1.5, y = 0.02,
label = paste0("χ² = ", round(krit,2)), color = "firebrick", size = 3.5) +
labs(title = "Chi²(4): Ablehnungsregion für α = 0.05",
x = "x", y = "f(x)") +
theme_minimal()
Eine Maschine soll eine Produktvarianz von \(\sigma_0^2 = 4\) einhalten. Aus \(n = 20\) Messungen ergibt sich \(s^2 = 6.5\). Berechnen Sie die Teststatistik und den p-Wert.
n <- 20; s2 <- 6.5; sigma0_sq <- 4
chi_stat <- (n - 1) * s2 / sigma0_sq
p_wert <- 1 - pchisq(chi_stat, df = n - 1)
cat("Teststatistik χ² =", round(chi_stat, 3), "\n")Teststatistik χ² = 30.875 cat("p-Wert =", round(p_wert, 4), "\n")p-Wert = 0.0417 cat("Entscheidung bei α=0.05:", ifelse(p_wert < 0.05, "H0 ablehnen", "H0 nicht ablehnen"), "\n")Entscheidung bei α=0.05: H0 ablehnen Die t-Verteilung hat im Vergleich zur Standardnormalverteilung schwerere Ränder (heavy tails). Mit zunehmenden Freiheitsgraden \(\nu\) nähert sie sich der \(N(0,1)\) an. Ab etwa \(\nu \geq 30\) ist der Unterschied praktisch vernachlässigbar — ein wichtiger Grund, warum grosse Stichproben vorteilhaft sind.
tibble(x = seq(-5, 5, length.out = 400)) |>
mutate(
`t(2)` = dt(x, 2),
`t(10)` = dt(x, 10),
`N(0,1)` = dnorm(x)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Verteilung", values_to = "f") |>
ggplot(aes(x = x, y = f, color = Verteilung, linetype = Verteilung)) +
geom_line(linewidth = 1) +
scale_color_manual(values = c("steelblue", "skyblue", "firebrick")) +
scale_linetype_manual(values = c("solid", "solid", "dashed")) +
labs(title = "t-Verteilung vs. Standardnormalverteilung",
subtitle = "Schwerere Ränder bei kleinen Freiheitsgraden",
x = "x", y = "f(x)") +
theme_minimal()
Eine Stichprobe von \(n = 16\) Messungen ergibt \(\bar{x} = 52.3\) und \(s = 4.8\). Testen Sie \(H_0: \mu = 50\) gegen \(H_1: \mu \neq 50\) zum Niveau \(\alpha = 0.05\).
n <- 16; x_bar <- 52.3; s <- 4.8; mu0 <- 50
t_stat <- (x_bar - mu0) / (s / sqrt(n))
p_wert <- 2 * (1 - pt(abs(t_stat), df = n - 1))
krit <- qt(0.975, df = n - 1)
cat("Teststatistik t =", round(t_stat, 3), "\n")Teststatistik t = 1.917 cat("Kritischer Wert =", round(krit, 3), "\n")Kritischer Wert = 2.131 cat("p-Wert (zweiseitig)=", round(p_wert, 4), "\n")p-Wert (zweiseitig)= 0.0745 cat("Entscheidung:", ifelse(abs(t_stat) > krit, "H0 ablehnen", "H0 nicht ablehnen"), "\n")Entscheidung: H0 nicht ablehnen Visualisieren Sie, wie die kritischen Werte des t-Tests für \(\alpha = 0.05\) (zweiseitig) mit steigenden Freiheitsgraden gegen den Normalwert 1.96 konvergieren.
tibble(nu = 1:50,
krit_t = qt(0.975, df = nu)) |>
ggplot(aes(x = nu, y = krit_t)) +
geom_line(color = "steelblue", linewidth = 1) +
geom_point(size = 1.5, color = "steelblue") +
geom_hline(yintercept = qnorm(0.975), color = "firebrick",
linetype = "dashed", linewidth = 1) +
annotate("text", x = 45, y = qnorm(0.975) + 0.1,
label = "z = 1.96", color = "firebrick", size = 3.5) +
labs(title = "Kritische Werte t(ν; 0.975) — Konvergenz gegen 1.96",
x = "Freiheitsgrade ν", y = "Kritischer Wert") +
theme_minimal()
a <- 0; b <- 10
tibble(
x = c(a - 1, a, a, b, b, b + 1),
f = c(0, 0, 1/(b-a), 1/(b-a), 0, 0),
F_x = c(0, 0, 0, 1, 1, 1)
) |>
ggplot(aes(x = x)) +
geom_line(aes(y = f), color = "steelblue", linewidth = 1.2) +
geom_line(aes(y = F_x), color = "grey50", linewidth = 1,
linetype = "dashed") +
annotate("text", x = 5, y = 0.13, label = "f(x) = 1/10", color = "steelblue") +
annotate("text", x = 8.5, y = 0.95, label = "F(x)", color = "grey50") +
labs(title = "Stetige Gleichverteilung U(0, 10)",
subtitle = "Dichtefunktion (blau) und Verteilungsfunktion (grau gestrichelt)",
x = "x", y = "") +
theme_minimal()
Die Wartezeit an einem Kassenautomaten sei gleichmässig auf \([0, 5]\) Minuten verteilt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, weniger als 2 Minuten zu warten? Was ist die mittlere Wartezeit?
a <- 0; b <- 5
p_unter2 <- punif(2, min = a, max = b)
mu <- (a + b) / 2
sigma_sq <- (b - a)^2 / 12
cat("P(X < 2) =", round(p_unter2, 4), "\n")P(X < 2) = 0.4 cat("E[X] =", mu, "Minuten\n")E[X] = 2.5 Minutencat("Var(X) =", round(sigma_sq, 3), "\n")Var(X) = 2.083 Computersimulationen basieren auf \(U(0,1)\)-verteilten Zufallszahlen. Überprüfen Sie anhand von 10 000 Simulationen, ob die empirische Verteilung tatsächlich gleichmässig ist.
set.seed(99)
n <- 10000
sim <- runif(n, 0, 1)
tibble(x = sim) |>
ggplot(aes(x = x)) +
geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 40,
fill = "steelblue", alpha = 0.7, color = "white") +
geom_hline(yintercept = 1, color = "firebrick", linetype = "dashed",
linewidth = 1) +
annotate("text", x = 0.85, y = 1.08, label = "f(x) = 1",
color = "firebrick", size = 3.5) +
labs(title = "U(0,1): Histogramm aus 10 000 Simulationen",
subtitle = "Rote Linie: theoretische Dichte",
x = "x", y = "Dichte") +
theme_minimal()
Die Exponentialverteilung ist wie die geometrische Verteilung gedächtnislos: \(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\). Die bisherige Wartezeit hat keinen Einfluss auf die restliche Wartezeit — eine wichtige, aber in der Praxis oft zu prüfende Annahme.
tibble(x = seq(0, 10, length.out = 400)) |>
mutate(
`λ = 0.5` = dexp(x, 0.5),
`λ = 1.0` = dexp(x, 1.0),
`λ = 2.0` = dexp(x, 2.0)
) |>
pivot_longer(-x, names_to = "Parameter", values_to = "f") |>
ggplot(aes(x = x, y = f, color = Parameter)) +
geom_line(linewidth = 1) +
scale_color_manual(values = c("steelblue", "skyblue", "grey40")) +
labs(title = "Exponentialverteilung für verschiedene λ",
x = "x (Wartezeit)", y = "f(x)") +
theme_minimal()
Die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils sei \(\text{Exp}(0.02)\)-verteilt (mittlere Lebensdauer = 50 Stunden). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil mindestens 100 Stunden hält? Visualisieren Sie die Überlebensfunktion.
lambda <- 0.02
mu <- 1 / lambda
cat("Mittlere Lebensdauer: ", mu, "Stunden\n")Mittlere Lebensdauer: 50 Stundenp_mind100 <- 1 - pexp(100, rate = lambda)
cat("P(X >= 100) =", round(p_mind100, 4), "\n")P(X >= 100) = 0.1353 # Überlebensfunktion S(t) = 1 - F(t)
tibble(t = seq(0, 200, length.out = 400),
S = 1 - pexp(t, rate = lambda)) |>
ggplot(aes(x = t, y = S)) +
geom_line(color = "steelblue", linewidth = 1.2) +
geom_vline(xintercept = mu, linetype = "dashed", color = "grey50") +
geom_hline(yintercept = exp(-1), linetype = "dashed", color = "grey50") +
annotate("text", x = mu + 5, y = 0.95,
label = paste0("E[X] = ", mu, "h"), size = 3.5, color = "grey40") +
labs(title = "Überlebensfunktion S(t) = P(X > t) — Exp(0.02)",
x = "Betriebszeit t (Stunden)", y = "S(t)") +
theme_minimal()
In einem Call-Center gehen durchschnittlich 6 Anrufe pro Stunde ein (Poisson-Prozess). Die Wartezeiten zwischen den Anrufen sind dann \(\text{Exp}(6)\)-verteilt. Simulieren Sie 5 000 Zwischenankunftszeiten und vergleichen Sie mit der theoretischen Dichte.
set.seed(42)
lambda <- 6 # 6 Anrufe pro Stunde
sim <- rexp(5000, rate = lambda)
cat("Theoretische mittlere Wartezeit: ", round(1/lambda * 60, 1), "Minuten\n")Theoretische mittlere Wartezeit: 10 Minutencat("Empirischer Mittelwert: ", round(mean(sim) * 60, 1), "Minuten\n")Empirischer Mittelwert: 10.2 Minutentibble(x = sim) |>
ggplot(aes(x = x * 60)) + # Umrechnung in Minuten
geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 50,
fill = "steelblue", alpha = 0.7, color = "white") +
stat_function(fun = \(x) dexp(x / 60, rate = lambda) / 60,
color = "firebrick", linewidth = 1.2) +
labs(title = "Exp(6/h): Wartezeit zwischen Anrufen (n = 5 000)",
subtitle = "Rote Kurve: theoretische Dichte",
x = "Wartezeit (Minuten)", y = "Dichte") +
theme_minimal()
tibble(
Verteilung = c(
"Binomial B(n,p)", "Diskrete GV U_d{1..k}",
"Poisson Pois(λ)", "Hypergeom H(N,M,n)",
"Geometrisch Geom(p)",
"Normalvert N(μ,σ²)", "Chi² χ²(ν)", "t-Vert t(ν)",
"Stetige GV U(a,b)", "Exponential Exp(λ)"
),
Typ = c(rep("Diskret", 5), rep("Stetig", 5)),
`E[X]` = c("np", "(k+1)/2", "λ", "nM/N", "(1-p)/p",
"μ", "ν", "0", "(a+b)/2", "1/λ"),
`Var(X)` = c("np(1-p)", "(k²-1)/12", "λ", "np/N·(N-M)/N·(N-n)/(N-1)", "(1-p)/p²",
"σ²", "2ν", "ν/(ν-2)", "(b-a)²/12", "1/λ²"),
`R-Prefix` = c("binom","—","pois","hyper","geom","norm","chisq","t","unif","exp")
) |>
knitr::kable(caption = "Übersicht aller behandelten Verteilungen") |>
kableExtra::kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"), full_width = TRUE) |>
kableExtra::row_spec(0, bold = TRUE) |>
kableExtra::pack_rows("Diskrete Verteilungen", 1, 5) |>
kableExtra::pack_rows("Stetige Verteilungen", 6, 10)| Verteilung | Typ | E[X] | Var(X) | R-Prefix |
|---|---|---|---|---|
| Diskrete Verteilungen | ||||
| Binomial B(n,p) | Diskret | np | np(1-p) | binom |
| Diskrete GV U_d{1..k} | Diskret | (k+1)/2 | (k²-1)/12 | — |
| Poisson Pois(λ) | Diskret | λ | λ | pois |
| Hypergeom H(N,M,n) | Diskret | nM/N | np/N·(N-M)/N·(N-n)/(N-1) | hyper |
| Geometrisch Geom(p) | Diskret | (1-p)/p | (1-p)/p² | geom |
| Stetige Verteilungen | ||||
| Normalvert N(μ,σ²) | Stetig | μ | σ² | norm |
| Chi² χ²(ν) | Stetig | ν | 2ν | chisq |
| t-Vert t(ν) | Stetig | 0 | ν/(ν-2) | t |
| Stetige GV U(a,b) | Stetig | (a+b)/2 | (b-a)²/12 | unif |
| Exponential Exp(λ) | Stetig | 1/λ | 1/λ² | exp |